在物理学和数学领域中，波动方程是描述波传播的基本方程之一。它广泛应用于声学、光学、电磁学以及量子力学等领域。波动方程有多种形式，以下是三种常见的表达方式：

一维波动方程

最基础的形式是一维波动方程，通常用于描述沿单一方向传播的波。其标准形式为：

\[ \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \]

其中 \( u(x, t) \) 表示波函数，\( c \) 是波速，\( x \) 是空间坐标，\( t \) 是时间。

三维波动方程

当考虑三维空间中的波传播时，波动方程扩展为：

\[ \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \nabla^2 u \]

这里，\( \nabla^2 \) 是拉普拉斯算子，表示空间坐标的二阶偏导数之和。这一形式适用于描述更复杂的物理现象，如声波或电磁波在三维空间中的传播。

非齐次波动方程

除了上述两种形式外，还有一种非齐次波动方程，它引入了外部源项 \( f(x, t) \)，用于描述有外部作用力影响下的波传播过程：

\[ \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \nabla^2 u + f(x, t) \]

这三种形式各自适应不同的应用场景，从简单的一维模型到复杂的多维情况，波动方程为我们提供了强大的工具来理解和预测自然界中的各种波动现象。