【三角函数的公式是什么】在数学中，三角函数是研究三角形边角关系的重要工具，广泛应用于几何、物理、工程等多个领域。常见的三角函数包括正弦（sin）、余弦（cos）、正切（tan）等，它们之间也存在许多相互转换和运算的公式。为了更好地理解和应用这些公式，以下是对常见三角函数公式的总结。
一、基本三角函数定义
设一个直角三角形中，角θ的对边为a，邻边为b，斜边为c，则：
| 函数名称 | 定义式 |
| 正弦 | sinθ = a / c |
| 余弦 | cosθ = b / c |
| 正切 | tanθ = a / b |
二、三角函数的基本关系
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 倒数关系 | sinθ = 1 / cscθ cosθ = 1 / secθ tanθ = 1 / cotθ |
| 商数关系 | tanθ = sinθ / cosθ |
| 平方关系 | sin²θ + cos²θ = 1 |
| 1 + tan²θ = sec²θ | |
| 1 + cot²θ = csc²θ |
三、诱导公式（角度变换）
| 角度变换 | 三角函数值变化规律 |
| sin(π/2 - θ) | cosθ |
| cos(π/2 - θ) | sinθ |
| sin(π - θ) | sinθ |
| cos(π - θ) | -cosθ |
| sin(π + θ) | -sinθ |
| cos(π + θ) | -cosθ |
| sin(-θ) | -sinθ |
| cos(-θ) | cosθ |
四、和差角公式
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 正弦和差公式 | sin(A ± B) = sinA cosB ± cosA sinB |
| 余弦和差公式 | cos(A ± B) = cosA cosB ∓ sinA sinB |
| 正切和差公式 | tan(A ± B) = (tanA ± tanB) / (1 ∓ tanA tanB) |
五、倍角公式
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 正弦倍角公式 | sin2θ = 2 sinθ cosθ |
| 余弦倍角公式 | cos2θ = cos²θ - sin²θ = 2cos²θ - 1 = 1 - 2sin²θ |
| 正切倍角公式 | tan2θ = 2 tanθ / (1 - tan²θ) |
六、半角公式
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 正弦半角公式 | sin(θ/2) = ±√[(1 - cosθ)/2] |
| 余弦半角公式 | cos(θ/2) = ±√[(1 + cosθ)/2] |
| 正切半角公式 | tan(θ/2) = ±√[(1 - cosθ)/(1 + cosθ)] |
七、积化和差与和差化积
| 公式类型 | 公式表达式 |
| 积化和差 | sinA cosB = [sin(A+B) + sin(A-B)] / 2 |
| cosA cosB = [cos(A+B) + cos(A-B)] / 2 | |
| sinA sinB = [cos(A-B) - cos(A+B)] / 2 | |
| 和差化积 | sinA + sinB = 2 sin[(A+B)/2] cos[(A-B)/2] |
| sinA - sinB = 2 cos[(A+B)/2] sin[(A-B)/2] | |
| cosA + cosB = 2 cos[(A+B)/2] cos[(A-B)/2] | |
| cosA - cosB = -2 sin[(A+B)/2] sin[(A-B)/2] |
通过以上表格，可以系统地掌握三角函数的基本公式及其应用方式。掌握这些公式不仅有助于解题，还能提升对三角函数整体结构的理解。在实际应用中，合理选择合适的公式往往能简化计算过程，提高效率。
