【微积分基本公式】微积分是数学中极为重要的分支，广泛应用于物理、工程、经济学等多个领域。微积分的基本公式是学习和应用微积分的基础，主要包括微分与积分之间的关系、基本的求导法则以及常见的积分公式。以下是对微积分基本公式的总结。
一、微积分基本定理
微积分基本定理是连接微分与积分的核心内容，分为两部分：
| 内容 | 公式 | 说明 |
| 第一部分 | $ \frac{d}{dx} \int_{a}^{x} f(t) \, dt = f(x) $ | 函数在某点的导数等于该点处的函数值 |
| 第二部分 | $ \int_{a}^{b} f(x) \, dx = F(b) - F(a) $ | 定积分可以通过原函数计算 |
二、基本求导公式
以下是常见函数的导数公式：
| 函数 | 导数 | 说明 |
| $ x^n $ | $ nx^{n-1} $ | 幂函数求导 |
| $ e^x $ | $ e^x $ | 指数函数导数 |
| $ \ln x $ | $ \frac{1}{x} $ | 对数函数导数 |
| $ \sin x $ | $ \cos x $ | 正弦函数导数 |
| $ \cos x $ | $ -\sin x $ | 余弦函数导数 |
| $ \tan x $ | $ \sec^2 x $ | 正切函数导数 |
三、基本积分公式
积分是求导的逆运算，以下是常见函数的不定积分公式：
| 函数 | 积分 | 说明 | ||
| $ x^n $ | $ \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $（$ n \neq -1 $） | 幂函数积分 | ||
| $ e^x $ | $ e^x + C $ | 指数函数积分 | ||
| $ \frac{1}{x} $ | $ \ln | x | + C $ | 倒数函数积分 |
| $ \sin x $ | $ -\cos x + C $ | 正弦函数积分 | ||
| $ \cos x $ | $ \sin x + C $ | 余弦函数积分 | ||
| $ \sec^2 x $ | $ \tan x + C $ | 正切函数积分 |
四、积分方法简介
| 方法 | 适用情况 | 简单示例 |
| 换元积分法 | 复杂函数替换 | $ \int (2x+1)^3 dx $ 可令 $ u=2x+1 $ |
| 分部积分法 | 乘积形式函数 | $ \int x \sin x dx $ 使用 $ u=x, dv=\sin x dx $ |
| 分式分解 | 有理函数 | $ \int \frac{1}{x^2 - 1} dx $ 可拆成 $ \frac{1}{2} \left( \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1} \right) $ |
五、定积分与不定积分的关系
| 类型 | 定义 | 特点 |
| 不定积分 | $ \int f(x) dx = F(x) + C $ | 包含任意常数C |
| 定积分 | $ \int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) $ | 无常数项，结果为一个数值 |
通过以上总结可以看出，微积分基本公式构成了整个微积分体系的基石，掌握这些公式对于进一步学习高等数学具有重要意义。在实际应用中，灵活运用这些公式能够提高解题效率并增强对数学问题的理解能力。
