给一道初中数学题，最难最难的。

在初中数学的学习过程中，我们常常会遇到一些看似简单却暗藏玄机的问题。这些问题不仅考验学生的数学基础，还需要灵活的思维和创新的解题方法。今天，我将给大家带来一道被称作“最难最难”的初中数学题，看看你是否能够挑战成功。

这道题目如下：

> 已知一个直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c。若满足条件 \(a^2 + b^2 = c^2\)（勾股定理），且 \(a + b = 10\)，求该三角形的最大面积。

乍一看，这道题目似乎并不复杂，只需要利用勾股定理和面积公式即可解决。但实际上，它隐藏了许多需要仔细分析的细节。

首先，我们知道直角三角形的面积公式为 \(\frac{1}{2}ab\)。因此，问题的核心在于如何找到使 \(a\) 和 \(b\) 的乘积最大的组合，同时满足 \(a + b = 10\) 和 \(a^2 + b^2 = c^2\)。

通过代数变形，我们可以将 \(a\) 表示为 \(10 - b\)，然后代入勾股定理中，得到：

\[

(10 - b)^2 + b^2 = c^2

\]

展开后化简为：

\[

100 - 20b + b^2 + b^2 = c^2

\]

\[

2b^2 - 20b + 100 = c^2

\]

接下来，我们需要确定 \(b\) 的取值范围。由于 \(a\) 和 \(b\) 都是正数，且 \(a + b = 10\)，所以 \(b\) 的取值范围为 \(0 < b < 10\)。

为了使面积最大化，我们需要让 \(a\) 和 \(b\) 尽可能接近。通过观察，当 \(a = b\) 时，三角形的面积达到最大值。此时，\(a = b = 5\)，代入勾股定理验证：

\[

5^2 + 5^2 = c^2

\]

\[

25 + 25 = c^2

\]

\[

c^2 = 50

\]

\[

c = \sqrt{50}

\]

因此，三角形的最大面积为：

\[

\text{面积} = \frac{1}{2} \times 5 \times 5 = 12.5

\]

综上所述，这道题的答案是：该直角三角形的最大面积为 12.5。

希望这道题目能激发你的思考，并帮助你在数学学习中更进一步！如果你还有其他类似的难题，欢迎随时分享交流。