在数学的学习过程中，导数是一个非常重要的概念，尤其是在微积分中。对于一些常见的函数组合，如“x - sinx”除以“x”，我们常常需要通过求导来分析其变化趋势或极值点。那么，如何正确地对这个表达式进行求导呢？下面我们就来详细探讨一下。

首先，我们需要明确这个表达式的结构。原式是：

$$

\frac{x - \sin x}{x}

$$

我们可以将其拆解为两个部分的差再除以x，也可以先进行化简。为了更清晰地进行求导，可以尝试将该式进行分式拆分：

$$

\frac{x - \sin x}{x} = \frac{x}{x} - \frac{\sin x}{x} = 1 - \frac{\sin x}{x}

$$

这样处理之后，整个表达式就变得更容易求导了。接下来，我们只需要对简化后的表达式进行求导即可。

设函数为：

$$

f(x) = 1 - \frac{\sin x}{x}

$$

由于1的导数为0，因此只需对第二项进行求导：

$$

f'(x) = - \left( \frac{\sin x}{x} \right)'

$$

现在，我们需要使用商数法则来求导。商数法则的公式为：

$$

\left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}

$$

在这里，令 $ u = \sin x $，$ v = x $，则有：

- $ u' = \cos x $

- $ v' = 1 $

代入公式得：

$$

\left( \frac{\sin x}{x} \right)' = \frac{\cos x \cdot x - \sin x \cdot 1}{x^2} = \frac{x \cos x - \sin x}{x^2}

$$

所以原函数的导数为：

$$

f'(x) = - \frac{x \cos x - \sin x}{x^2} = \frac{\sin x - x \cos x}{x^2}

$$

总结

通过对原式 $ \frac{x - \sin x}{x} $ 进行化简，并应用商数法则，我们得到了它的导数为：

$$

f'(x) = \frac{\sin x - x \cos x}{x^2}

$$

这个结果可以帮助我们在实际问题中分析函数的变化率、极值等信息。在学习和应用过程中，理解每一步推导的逻辑非常重要，这有助于提高我们的数学思维能力和解题技巧。