要推导出向心加速度的公式，我们可以从基本的运动学原理出发。假设一个物体以恒定速率 \(v\) 沿半径为 \(r\) 的圆周运动，则其速度矢量的方向每时每刻都在改变。尽管速度的大小不变，但速度的方向变化导致了加速度的存在。

为了简化问题，我们可以考虑一个极短的时间间隔 \(\Delta t\) 内，物体的速度变化量 \(\Delta v\)。根据几何关系，当时间间隔足够小时，\(\Delta v\) 的方向几乎完全垂直于初始速度 \(v\)，并且它的大小可以通过三角函数计算得出：

\[ \Delta v = 2v \sin\left(\frac{\Delta \theta}{2}\right) \]

其中 \(\Delta \theta\) 是在这段时间内物体所转过的角度。对于非常小的角度，\(\sin(x)\) 近似等于 \(x\)（以弧度计），因此上述表达式可以近似为：

\[ \Delta v \approx v \Delta \theta \]

向心加速度 \(a_c\) 定义为单位时间内速度的变化量，即：

\[ a_c = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta v}{\Delta t} \]

结合前面的关系式，我们得到：

\[ a_c = \frac{v \Delta \theta}{\Delta t} \]

注意到 \(\Delta \theta / \Delta t\) 就是角速度 \(\omega\)，而 \(v = r\omega\)，所以最终可以写成：

\[ a_c = \frac{v^2}{r} \]

或者等价地表示为：

\[ a_c = r\omega^2 \]

这就是向心加速度的经典公式。通过这一推导过程，我们不仅得到了数学上的结果，也加深了对圆周运动本质的理解。希望这个简单的分析能够帮助学生们更好地掌握这部分知识。