一、二项分布的均值与方差

定义：假设我们有一个独立重复试验序列，每次试验有两种可能的结果（成功或失败），且每次试验成功的概率为 \(p\)，失败的概率为 \(1-p\)。如果进行了 \(n\) 次这样的独立试验，则称随机变量 \(X\) 服从参数为 \(n\) 和 \(p\) 的二项分布，记作 \(X \sim B(n, p)\)。

均值：对于一个二项分布随机变量 \(X\)，其均值（期望）为：

\[

E(X) = np

\]

这表示在 \(n\) 次独立重复试验中，预期成功的次数为 \(np\)。

方差：二项分布的方差为：

\[

Var(X) = np(1-p)

\]

这个公式反映了随着试验次数 \(n\) 的增加，方差也会增大，但增长率受 \(p(1-p)\) 的影响。

二、超几何分布的均值与方差

定义：假设有 \(N\) 个物品，其中 \(K\) 个是有标记的（例如“合格品”），其余 \(N-K\) 个是没有标记的。从这些物品中不放回地抽取 \(n\) 个样本，设 \(X\) 表示抽到的有标记物品的数量，则 \(X\) 服从超几何分布，记作 \(X \sim H(N, K, n)\)。

均值：超几何分布的均值为：

\[

E(X) = n \frac{K}{N}

\]

这意味着，在 \(n\) 次抽样中，预期抽到的有标记物品数量为 \(n \frac{K}{N}\)。

方差：超几何分布的方差为：

\[

Var(X) = n \frac{K}{N} \left(1 - \frac{K}{N}\right) \frac{N-n}{N-1}

\]

值得注意的是，由于抽样是不放回的，因此方差比二项分布要小一些，且当样本量 \(n\) 相对较小或总体规模 \(N\) 很大时，超几何分布可以近似为二项分布。

三、总结

无论是二项分布还是超几何分布，它们的均值和方差公式都直观地体现了各自的特点。二项分布适用于有放回抽样的情况，而超几何分布则适用于无放回抽样的场景。理解这些基本概念有助于我们在处理实际问题时选择合适的模型进行分析。

希望以上内容能帮助您更好地理解和掌握二项分布与超几何分布的相关知识！如果您有任何疑问或需要进一步的信息，请随时提问。