在数学分析中，不定积分是一种重要的工具，用于求解函数的原函数。今天我们将探讨一个具体的例子——计算不定积分 $\int x e^{2x} dx$。

首先，这个问题涉及指数函数与多项式的乘积，因此我们可以采用分部积分法来解决。分部积分公式为：

$$

\int u dv = uv - \int v du

$$

在这里，我们选择 $u = x$ 和 $dv = e^{2x} dx$。接下来，我们需要分别求出 $du$ 和 $v$：

- 因为 $u = x$，所以 $du = dx$；

- 对于 $dv = e^{2x} dx$，积分得到 $v = \frac{1}{2} e^{2x}$。

将这些结果代入分部积分公式：

$$

\int x e^{2x} dx = x \cdot \frac{1}{2} e^{2x} - \int \frac{1}{2} e^{2x} dx

$$

继续处理右侧的积分部分：

$$

\int \frac{1}{2} e^{2x} dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} e^{2x} = \frac{1}{4} e^{2x}

$$

因此，最终的结果为：

$$

\int x e^{2x} dx = \frac{1}{2} x e^{2x} - \frac{1}{4} e^{2x} + C

$$

其中，$C$ 是任意常数。通过上述步骤，我们成功地完成了这个不定积分的计算。

不定积分的应用广泛，不仅限于理论研究，在物理、工程等领域也有重要价值。希望这篇文章能帮助你更好地理解这一过程！

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