【二阶常系数非齐次线性微分方程通解公式】在微分方程的学习中，二阶常系数非齐次线性微分方程是一个重要的研究对象。这类方程的一般形式为：
$$
y'' + py' + qy = f(x)
$$
其中，$ p $ 和 $ q $ 是常数，$ f(x) $ 是非齐次项，通常为多项式、指数函数、三角函数或它们的组合。
该类方程的通解由两部分组成：对应的齐次方程的通解和一个特解。即：
$$
y = y_h + y_p
$$
其中，$ y_h $ 是齐次方程 $ y'' + py' + qy = 0 $ 的通解，$ y_p $ 是原方程的一个特解。
一、求解步骤总结
| 步骤 | 内容 |
| 1 | 求解对应的齐次方程 $ y'' + py' + qy = 0 $，得到其通解 $ y_h $。 |
| 2 | 根据非齐次项 $ f(x) $ 的形式，选择合适的特解形式 $ y_p $。 |
| 3 | 将 $ y_p $ 代入原方程，求出待定系数，得到特解 $ y_p $。 |
| 4 | 将 $ y_h $ 和 $ y_p $ 相加，得到原方程的通解 $ y = y_h + y_p $。 |
二、常见非齐次项与特解形式对照表
| 非齐次项 $ f(x) $ | 特解形式 $ y_p $ | 备注 |
| 常数项（如 $ C $） | $ A $ | 若 $ f(x) $ 是常数，设 $ y_p = A $ |
| 多项式 $ P_n(x) $ | $ Q_n(x) $ | 设 $ y_p $ 为同次数多项式 |
| $ e^{\alpha x} $ | $ Ae^{\alpha x} $ | 若 $ \alpha $ 是特征根，则乘以 $ x $ |
| $ e^{\alpha x} \sin(\beta x) $ 或 $ e^{\alpha x} \cos(\beta x) $ | $ e^{\alpha x}(A\cos(\beta x) + B\sin(\beta x)) $ | 若 $ \alpha \pm i\beta $ 是特征根，则乘以 $ x $ |
| $ P_n(x)e^{\alpha x} $ | $ Q_n(x)e^{\alpha x} $ | 同上，视情况乘以 $ x^k $ |
三、典型例子说明
例1：
方程：$ y'' - 3y' + 2y = 5e^{x} $
- 齐次方程：$ y'' - 3y' + 2y = 0 $，特征方程为 $ r^2 - 3r + 2 = 0 $，解得 $ r = 1, 2 $
- 所以齐次通解为：$ y_h = C_1 e^x + C_2 e^{2x} $
- 非齐次项为 $ 5e^x $，由于 $ e^x $ 是齐次方程的一个解，因此特解形式应为：$ y_p = Axe^x $
- 代入原方程，解得 $ A = 5 $
- 所以通解为：$ y = C_1 e^x + C_2 e^{2x} + 5xe^x $
四、注意事项
- 如果非齐次项是齐次方程的解之一，需将特解乘以 $ x $，直到不再属于齐次解为止。
- 特解的形式要根据非齐次项的具体形式来确定，不能随意假设。
- 通解的结构清晰，便于理解和应用。
通过以上方法，可以系统地求解二阶常系数非齐次线性微分方程，并准确写出其通解。掌握这一过程有助于理解微分方程的结构与解法，适用于工程、物理、数学等多个领域。
