超几何分布的期望为 \( E(X) = n \frac{M}{N} \)，方差为 \( Var(X) = n \frac{M}{N} \left(1 - \frac{M}{N}\right) \frac{N-n}{N-1} \)，其中 \( N \) 为总体数量，\( M \) 为总体中成功类数量，\( n \) 为抽取样本数量。 这一结果适用于不放回抽样场景，在样本量远小于总体时近似于二项分布。期望推导基于线性可加性，方差推导需考虑样本间协方差（有限总体校正因子 \(\frac{N-n}{N-1}\)）。

超几何分布描述从有限总体中不放回抽取 n 个样本，成功类个数 X 的分布。期望可直接由指示变量之和得到：每个样本成功的概率为 M/N，故期望为 n (M/N)。方差计算需注意样本间不独立，协方差为 -M(N-M)/[N²(N-1)]，求和后得到上述公式。实际应用中，当 N 很大时，方差近似为二项分布方差 n (M/N) (1 - M/N)。

【常见问题】

问题1：超几何分布的期望公式如何记忆？

回答1：超几何分布的期望公式 \( E(X) = n \frac{M}{N} \) 可以理解为“样本量乘以总体成功率”，与二项分布期望形式一致，区别在于超几何分布来自不放回抽样。

问题2：超几何分布方差中的因子 \(\frac{N-n}{N-1}\) 有什么意义？

回答2：该因子称为有限总体校正因子，反映不放回抽样导致的样本间负相关。当 N 很大或 n 相对于 N 很小时，该因子接近 1，超几何分布的方差近似等于二项分布方差。

问题3：如何验证超几何分布期望和方差的推导？

回答3：可以用指示变量法：令 \( X = \sum_{i=1}^n I_i \)，其中 \( I_i \) 表示第 i 次抽到成功类。由于不放回，\( P(I_i=1)=M/N \)，且 \( Cov(I_i,I_j) = -\frac{M(N-M)}{N^2(N-1)} \) 对于 \( i \neq j \)，代入协方差公式即可得到期望和方差。